Как правильно писать «не за что» или «незачто»?

Правильно:

Не за что - пра­виль­но пишет­ся раз­дель­но в три сло­ва соглас­но пра­ви­лу орфографии русского языка.

Чтобы понять, поче­му это выражение пра­виль­но пишет­ся раз­дель­но, опре­де­лим, из каких частей оно состоит. Сразу нужно выде­лим в нём место­име­ние «Что» — само­сто­я­тель­ной части речи по грам­ма­ти­че­ским при­зна­кам. Отрицательное зна­че­ние это­му словосочетанию при­да­ет части­ца «Не».

Правило:

Если меж­ду место­име­ни­ем и отри­ца­тель­ной части­цей «не» име­ет­ся пред­лог, то все сло­ва пишут­ся раздельно.

Пример:

не о чем волноваться;
не с кем пойти;

Если же пред­ло­га нет, то отри­ца­тель­ные место­име­ния пишут­ся слит­но:

неко­го попросить;
неко­му позвонить;

Итак, сло­во­со­че­та­ние «не за что» состо­ит из слов трех частей речи:

отри­ца­тель­ной части­цы - «не»;
пред­ло­га - «за»;
место­име­ния - «что»